برای حل این سوال، ابتدا باید بررسی کنیم که دو مثلث با هم مشابه هستند یا خیر. برای این کار، نسبتهای اضلاع دو مثلث را با هم مقایسه میکنیم.
مثلث اول با اضلاع 3، 4 و 5 داده شده است. مثلث دوم با اضلاع 4/5، \( a \) و 7/5 است. طبق دادههای سوال، این دو مثلث مشابه هستند.
نسبتهای اضلاع مثلث اول به اضلاع متناظر در مثلث دوم به این صورت است:
\[
\frac{3}{5/4}, \frac{4}{a}, \frac{5}{7/5}
\]
ابتدا نسبتهای اضلاع را محاسبه میکنیم:
1. \(\frac{3}{5/4} = 3 \times \frac{4}{5} = \frac{12}{5}\)
2. \(\frac{5}{7/5} = 5 \times \frac{5}{7} = \frac{25}{7}\)
از آنجایی که مثلثها مشابه هستند، باید همه نسبتها یکسان باشند. برای پیدا کردن \( a \)، برابر بودن نسبتها را بررسی میکنیم:
\[
\frac{4}{a} = \frac{12}{5}
\]
از این معادله \( a \) را پیدا میکنیم:
\[
4 = \frac{12a}{5} \implies 12a = 20 \implies a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}
\]
محیط مثلث اول:
\[3 + 4 + 5 = 12\]
محیط مثلث دوم:
\[\frac{5}{4} + \frac{5}{3} + \frac{7}{5}\]
ابتدا مخرج کسرها را برابر میکنیم تا محیط را محاسبه کنیم:
\[ \frac{15}{12} + \frac{20}{12} + \frac{16.8}{12} = \frac{51.8}{12} \approx 4.32\]
بنابراین مثلث مشابه بزرگتری وجود ندارد و محیط بزرگتر از مثلث اول نیست.
در واقع محاسبات نشان میدهد که انتخاب مناسب از گزینهها اشتباه است.
